Orari lezioni: gio 16-18 (aula C8), ven 9-11 (laboratorio didattico).

Ricevimento: su appuntamento email (andrea punto seppi chiocciola uni punto lu)

 

Referenze:

Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces

Donaldson, Riemann surfaces

 

 

 

 

4/10: Introduzione al corso. La superficie di Riemann di \sqrt(z) e \log(z). Confronto tra curve reali e complesse. Curve algebriche affini e proiettive. Definizione di superficie di Riemann.

5/10: Definizione di superficie di Riemann e di mappe olomorfe tra superfici di Riemann. La definizione non dipende dalla scelta delle carte. Ripasso sulle funzioni olomorfe. Differenziale reale e complesso. Superfici di Riemann sono orientabili. Nozione di angolo. Funzioni olomorfe biettive sono biolomorfismi.

11/10: Esempi di superfici di Riemann (semplicemente connesse). Sottoinsiemi aperti di C. Teorema di Liouville. Sottoinsiemi propri di C non sono biolomorfi a C. Teorema della mappa di Riemann (enunciato). Esempio di biolomorfismo tra D ed H. Costruzione di CP^1 e della sfera di Riemann e biolomorfismo tra i due. Teorema di uniformizzazione (enunciato).

12/10: Curve piane affini e proiettive nonsingolari sono superfici di Riemann. Formula di Eulero. Esempi: rette piane proiettive e coniche piane proiettive nonsingolari sono biolomorfe a CP1.

18/10: Classificazione topologica delle superfici. Incollamento di 4g-goni. Esempi di superfici di Riemann: tori complessi. Involuzione iperellittica. Inversioni in cerchi. Un esempio di superficie di Riemann di genere 2.

19/10:. Funzioni olomorfe su superfici di Riemann sono costanti. Ripasso su funzioni meromorfe e singolarità essenziali. Teorema di Casorati-Weierstrass. Definizione di funzioni meromorfe ed ordine su superfici di Riemann. Corrispondenza tra funzioni meromorfe e funzioni olomorfe a valori su CP^1. Esempi: funzioni meromorfe su CP^1.

25/10: Automorfismi di C, CP1, del disco e del semipiano. Lemma di Schwarz. Trasformazioni di Möbius. Esempi di funzioni meromorfe su curve algebriche piane affini e proiettive.

26/10: Richiami sui rivestimenti. Struttura di superficie di Riemann indotta da un rivestimento e da un quoziente. Azioni libere e propriamente discontinue e quozienti non Hausdorff. 

8/11: Classificazione dei tori complessi. Azioni libere e propriamente discontinue, per biolomorfismi, su C. Dominio fondamentale. Spazio dei moduli dei tori e superficie modulare.

9/11: Proprietà delle mappe olomorfe tra superfici di Riemann. Teorema della mappa aperta. Mappe olomorfe non-costanti tra superfici compatte sono suriettive. Rivestimenti ramificati e molteplicità. Esempi. Azioni di gruppi.

15/11: Buona definizione del grado. Corollario: la somma degli ordini di una funzione meromorfa è nulla. Formula di Riemann-Hurwitz. Richiami sulla caratteristica di Eulero e dimostrazione. Alcune conseguenze di Riemann-Hurwitz.

16/11: Esempi di applicazione di Riemann-Hurwitz. Formula di Plücker per la curva di Fermat. Applicazione: bound di Harnack.

21/11: Divisori su superfici di Riemann. Grado e prime proprietà. Spazi di funzioni meromorfe L(D). Calcolo della dimensione di L(D) su CP^1. Ogni divisore di grado zero su CP^1 è principale.

22/11: Stime sulla dimensione di L(D) in termini del grado. Divisori di intersezione. Esempi. Uguaglianza tra il grado di una curva proiettiva non-singolare e il grado di un divisore iperpiano.

23/11: Dimostrazione della formula di Plücker e teorema di Bézout. Sistema di divisori iperpiano associati ad un'immersione olomorfa in CP^n, e prime proprietà.

29/11: Proprietà dei sistemi lineari, punti base. Esempi. Corrispondenza tra sistemi lineari privi di punti base e mappe olomorfe negli spazi proiettivi.

30/11: Criterio per avere un embedding associato ad un sistema lineare. Ogni superficie di Riemann compatta si immerge in maniera olomorfa in CP^n. Altre conseguenze. Richiami su campi vettoriali e 1-forme differenziali.

6/11: Tangente e cotangente di tipo (1,0) e (0,1). Forme olomorfe e meromorfe. Esempi. Divisori canonici e proprietà. Il grado di un divisore canonico è 2g-2.

7/11: Teorema di Riemann-Roch e conseguenze. Ogni superficie di genere 0 è biolomorfa a CP^1. Ogni superficie di genere 1 è biolomorfa a un toro complesso. Superfici di genere 1 e 2 sono iperellittiche. Applicazione canonica.

7/11: Fibrati in rette complessi. Funzioni di transizione e condizioni di cociclo. Isomorfismi. Esempi: fibrato banale, tautologico, tangente e cotangente.

13/12: Prodotto tensore tra line bundles. Gruppo di Picard. Isomorfismo con divisori modulo divisori principali. Coomologia di Cech. Dualità di Serre. Reinterpretazione di Riemann-Roch.

14/12: Coomologia dei fasci. Esempi. Fasci invertibili. Sketch della dimostrazione di Riemann-Roch. Grado (topologico) di un fibrato.

20/12: Ogni line bundle ha una sezione meromorfa non nulla. Ogni superficie di Riemann compatta ha una funzione meromorfa non-costante. Periodi di 1-forme e mappa di Abel-Jacobi. Jacobiana. Teorema di Abel. Conseguenze ed esempi.

21/12: Argomenti a scelta degli studenti: monodromia di rivestimenti ramificati, caratterizzazione delle curve iperellittiche, classificazione delle cubiche in CP^2